이상한 계산기 2

문제

이상한 계산기 1

\(\sin\), \(\cos\), \(\tan\), \(\arcsin\), \(\arccos\), \(\arctan\) 버튼과 디스플레이가 있는 계산기가 있다.

디스플레이에는 처음에 \(0\) 이 표시되어 있으며, 버튼을 누르면 그 함수가 디스플레이에 있는 수에 적용된다.

놀랍게도 이 계산기는 악마의 기술을 사용해서 계산 과정에서 오차가 발생하지 않는다.

당신은 이 계산기로 악마와 내기를 한다.

악마는 아무 양의 유리수를 말한다. 당신은 디스플레이에 표시된 수가 악마가 말한 수와 같도록 만들면 이긴다.

내기에서 항상 이길 수 있을까?

풀이

항상 이길 수 있다.

우선 \(\cos(0)\)으로 \(1\)을 만들 수 있다.

현재 값이 \(\sqrt{a/b}\) 인 경우

• \(\arctan\), \(\cos\) 을 누르면 \(\sqrt{b/(a+b)}\)

• \(\arctan\), \(\sin\) 을 누르면 \(\sqrt{a/(a+b)}\)

• \(\arctan\), \(\cos\), \(\arcsin\), \(\tan\) 을 누르면 \(\sqrt{b/a}\)

를 만들 수 있다.

유클리드 호제법에 의해 당신은 아무 \(\sqrt{a/b}\), (\(a\), \(b\)는 서로소인 자연수)를 만들 수 있음이 보장된다. 1편 참고

따라서 임의의 양의 유리수 \(\sqrt{a^{2} / b^{2}} = a/b\)를 만들 수 있다.